Для виджета выдаётся готовый код встраивания — вызывать API вручную не нужно. Ключ виджета создаётся в настройках проекта, там же ограничиваются домены.
Публичная форма работает по ссылке: /forms/<slug>. Её структуру можно читать и отправлять программно.
В обоих случаях отправителю обращения аккаунт в системе не нужен.